1 前言

二輥可逆式熱軋機(jī)因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，速度可調(diào)，正反向軋制，低速咬入、高速軋制，且容易實(shí)現(xiàn)機(jī)械化，勞動(dòng)條件較好，便于采用大坯錠軋制，軋制規(guī)程調(diào)整靈便等優(yōu)點(diǎn)被鋁合金中厚板熱軋制生產(chǎn)商廣泛采用。在整個(gè)軋制過(guò)程中，確定軋制工藝參數(shù)，設(shè)計(jì)出合理的軋制規(guī)程是必不可少的環(huán)節(jié)，一般靠多次試軋或經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定相對(duì)合理的工藝參數(shù)。隨著市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量要求的提高以及節(jié)能環(huán)保的要求，僅僅依靠傳統(tǒng)的方法來(lái)確定軋制工藝參數(shù)顯得不切實(shí)際。根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際情況以及設(shè)備的能力確定合理的軋制工藝參數(shù)就必須建立軋制相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，借助一些優(yōu)化方法找出最優(yōu)化的工藝參數(shù)，以此來(lái)確保產(chǎn)品質(zhì)量，降低能耗，提高生產(chǎn)效率。

下面結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際和操作經(jīng)驗(yàn)，建立針對(duì)某廠可逆二輥軋機(jī)軋制數(shù)學(xué)模型，該數(shù)學(xué)模型包括軋制力模型、溫降模型、輥縫模型、平直度模型、傳動(dòng)轉(zhuǎn)矩和主電機(jī)功率模型、電機(jī)模型、前滑模型、軋制時(shí)間模型、電機(jī)發(fā)熱模型、咬入條件等10個(gè)數(shù)學(xué)模型。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 軋制力模型

中厚板軋制過(guò)程中，每道次產(chǎn)生的寬展較小，近似于平面變形軋制，其寬展量可以忽略不計(jì)，因此軋制力計(jì)算可以采用Sims公式：

        （1）

式中：表示軋輥與板之間接觸弧長(zhǎng)；表示變形區(qū)板的平均寬度，忽略寬展，為板料初軋寬度與終軋寬度和的平均值；為應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)；為張力系數(shù)。

軋輥受到軋制力的作用而產(chǎn)生壓扁，使得接觸弧長(zhǎng)增大，從而使得軋制力增加，其變化量一般在2%~3%左右，所以在計(jì)算軋制力時(shí)必須考慮軋輥壓扁的影響。通常采用Hitchcock公式的簡(jiǎn)化形式：

               （2，3）

        （4）

式中：表示壓下量；表示軋輥初始半徑；v表示軋件泊松比，為0.3；表示軋輥彈性模量。

在計(jì)算軋輥壓扁半徑時(shí)，首先得知道軋制力大小，然而軋制力大小本身又與軋輥壓扁半徑有關(guān)，借助計(jì)算機(jī)編程，實(shí)現(xiàn)迭代算法，在一定精度下可以確定軋制力和軋輥壓扁半徑。具體算法如圖1，圖2為軋制3003鋁合金板料時(shí)每道次軋輥壓扁半徑。

圖1 考慮軋棍壓扁半徑的迭代算法          圖2  3003鋁合金與軋輥接觸弧長(zhǎng)

在有色金屬加工行業(yè)中，對(duì)金屬變形抗力模型的研究主要是通過(guò)實(shí)驗(yàn)室熱模擬機(jī)測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，然后用數(shù)學(xué)回歸的方法得出變形抗力模型。在實(shí)際生產(chǎn)中，許多未知因素干擾下，理論數(shù)據(jù)并不能直接用來(lái)指導(dǎo)生產(chǎn)，往往需要加上一些系數(shù)。通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量，建立針對(duì)該廠軋制生產(chǎn)的鋁合金變形抗力模型，并作為制定軋制規(guī)程的科學(xué)依據(jù)。變形抗力（）公式如下：

                 （5，6）

式中：表示千分之一熱力學(xué)溫度；表示工程應(yīng)變，分別表示入口厚度和出口厚度；表示軋輥轉(zhuǎn)速；表示變形速度；都是待定系數(shù)。在反求變形抗力過(guò)程中往往要忽略一些將要的因素，比如軋輥的彈性壓扁，有時(shí)要考慮最后幾道次板料的加工硬化程度等等。

在實(shí)際計(jì)算軋制力過(guò)程中，通常用簡(jiǎn)化的Sims公式來(lái)計(jì)算：

      （7）

式中：表示平均厚度，。

鋁板料未上卷時(shí)，可逆熱軋中并沒(méi)有張力，因此。張力計(jì)算公式如下：

      （8）

式中：分別表示前后張力；表示平衡系數(shù)。當(dāng)板料上卷后，發(fā)現(xiàn)后張力比前張力影響要大，的取值范圍為，經(jīng)過(guò)反復(fù)演算，認(rèn)為在該軋制過(guò)程中取較合適。

至此軋制力模型已完全建立，在實(shí)際生產(chǎn)中需要借助其它工具來(lái)完善，例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、專家系統(tǒng)和有限元模擬等。

2.2 溫降模型

在鋁合金熱軋制過(guò)程中溫度的預(yù)測(cè)一直以來(lái)都是個(gè)難題，影響溫度的因素很多但問(wèn)題主要集中在溫度測(cè)量的準(zhǔn)確度和難以確定的邊界條件。鋁合金熱軋溫度在600~550℃，終軋溫度在280~320℃，不同牌號(hào)的鋁合金軋制溫度略有不同。與軋制薄帶不同的是，中厚鋁合金板軋件比較厚，軋件表層和中心溫度較大，但是其從頭到尾的溫度梯度不是很顯。

通常坯料出爐到終軋，溫度的變化是由坯料輻射散熱、與空氣對(duì)流散熱、與乳化液對(duì)流散熱、與軋輥接觸換熱、與輥道接觸換熱以及軋件變形生熱。在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，坯料與空氣對(duì)流散熱可以看作輻射散熱，一般情況下相當(dāng)于輻射散熱的10%，故在建立模型時(shí)僅在輻射散模型中添加系數(shù)修正。另外，考慮到軋輥與坯料接觸面積小、時(shí)間短，其散熱量可以忽略不計(jì)。

輻射散熱公式是根據(jù)波爾茲曼方程：

      （9）

其中：表示熱流密度，表示鋁合金板的灰度，表示斯特潘－波爾茲曼常數(shù)（也叫作輻射系數(shù)），T為物體熱力學(xué)溫度，為空氣熱力學(xué)溫度（下文中溫度若不特殊說(shuō)明皆為氣力學(xué)溫度）。聯(lián)立熱平衡方程：

          （10）

其中：為輻射熱量變化值；m為質(zhì)量；為比熱容；為溫降；為坯料的表面積?？紤]到側(cè)面積很小，計(jì)算面積時(shí)忽略側(cè)面積，只計(jì)算上下表面。另外考慮溫度隨時(shí)間變化，因此積分后可得出輻射溫降方程：

      （11）

其中：為因輻射引起的溫降；表示坯料入口溫度；表示鋁合金的密度；表示軋件厚度；ｔ表示輻射時(shí)間。根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，鋁合金熱軋時(shí)輻射系數(shù)可取0.2。由于實(shí)際試驗(yàn)過(guò)程中第13道次單邊上卷，第14、15道次雙邊上卷，輻射系數(shù)將發(fā)生變化。為表達(dá)這一變化用分別表示無(wú)上卷系數(shù)、單邊上卷系數(shù)、雙邊上卷系數(shù)。公式（11）中的將變?yōu)?img src="/file/upload/other/teach/20151105/20120608113003764.jpg" border="0" alt="" />，取0，1，2。根據(jù)長(zhǎng)期實(shí)踐積累，無(wú)上卷、單邊上卷、雙邊上卷系數(shù)分別為1、0.75、0.5。

浮化液對(duì)流散熱可以近似看作低壓噴水冷卻，對(duì)流換熱可由牛頓對(duì)流換熱公式：

    （12）

將公式（12）代入公式（10）中便可得出浮化液對(duì)流散熱模型：

   （13）

式中：為對(duì)流系數(shù)，取，為浮化液作用長(zhǎng)度，測(cè)得；為鋁合金密度；表示軋件出口速度，一般要考慮前滑值，則，為前滑值，為軋輥線速度。

接觸換熱是指軋件與設(shè)備接觸而傳遞熱量引起溫降。以軋件為研究對(duì)象，考慮到軋件與導(dǎo)輥接觸時(shí)間短、溫差較小等因素，略去軋輥與導(dǎo)輥之間的接觸換熱。軋輥在乳化液的冷卻作用下，溫度較低，軋件與軋輥之間的接觸換熱較明顯。處理現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得的數(shù)據(jù)，回歸出接觸換熱公式：

      （14）

其中：為軋件與軋輥熱傳導(dǎo)率系數(shù)，取；為接觸熱傳導(dǎo)系數(shù)；為軋輥的溫度。

軋制過(guò)程中坯料發(fā)生塑性變形過(guò)程中，軋輥傳遞機(jī)械能使軋件發(fā)生變形，同時(shí)會(huì)伴有金屬加工硬化，而且在隨后的再結(jié)晶過(guò)程中，加工硬化組織中積累的機(jī)械能會(huì)以熱能的形式釋放出來(lái)，使軋件溫度升高。由此造成的溫升:

                 (15)

其中：為功轉(zhuǎn)化為熱的有效系數(shù)，需要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際選取。

至此鋁合熱軋溫降模型全部建立，綜合以上公式（11）、（13）、（14）、（15）可得出每道次鋁板出口溫度：

                      （16）

圖3  3003系鋁合金實(shí)測(cè)與預(yù)測(cè)溫度         圖4  5052系鋁合金實(shí)測(cè)與預(yù)測(cè)溫度

2.3 輥縫模型

在板帶軋制中最重要的指標(biāo)是良好的板型，獲得良好板型就必須建立合適的輥縫模型。通常，先進(jìn)的軋機(jī)配備有AGC系統(tǒng)、彎輥裝置以及自學(xué)習(xí)系統(tǒng)，有時(shí)還要考慮軋機(jī)的彈跳。在實(shí)際的生產(chǎn)中，控制板材的凸度和板型是通過(guò)控制軋輥的凸度來(lái)實(shí)現(xiàn)的，針對(duì)該廠二輥可逆熱軋機(jī)沒(méi)有AGC、彎輥裝置、上輥為凹輥、下輥為平輥等特點(diǎn)，建立簡(jiǎn)單而又實(shí)用的輥縫形狀方程?？梢杂孟旅娴姆匠瘫硎荆?/p>

                （17）

其中表示出口凸度，表示入口凸度，表示影響因子，表示軋制力引起兩輥的凸度，表示兩軋輥熱凸度，表示上輥凹陷值。

2.4 平直度模型

在實(shí)際軋制生產(chǎn)中用板坯的平直度來(lái)描述其板形，即板材是否產(chǎn)生波浪、翹曲、側(cè)彎等。根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，熱軋過(guò)程中軋制力過(guò)大往往容易產(chǎn)生邊浪，過(guò)小容易產(chǎn)生中浪。圖5表示平直度與軋制力之間的關(guān)系。

保持板形良好的條件為：，但在實(shí)際生產(chǎn)中，由于現(xiàn)場(chǎng)復(fù)雜，很難保證每個(gè)道次都滿足以上條件，因此板料或多或少會(huì)有一定的不平整，通常將相對(duì)誤差控制在很小的范圍內(nèi)（）。

2.5 傳動(dòng)轉(zhuǎn)矩及主電機(jī)的功率模型

兩輥可逆熱軋機(jī)軋制過(guò)程中，主電機(jī)輸出的扭矩用于克服以下4個(gè)方面的阻力矩：鋁材軋制力矩（）、軋機(jī)空轉(zhuǎn)力矩（）、傳動(dòng)過(guò)程中損失的力矩（）、軋機(jī)減速或加速運(yùn)行時(shí)克服慣性力矩（），用公式表示為：

               （18）

空轉(zhuǎn)力矩通常是根據(jù)空載工況下的電流確定，經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，可取，其中為軋機(jī)電機(jī)的額定力矩。傳動(dòng)過(guò)程中損失的力矩可以用以下公式計(jì)算：

    （19）

其中：ｄ為軋輥輥頸直徑；ｉ為傳動(dòng)比，取11.5；為軸承的摩擦系數(shù)，查手冊(cè)為0.004，Ｍ為軋制力矩；為傳動(dòng)裝置的效率，取0.95。

在軋制過(guò)程中前幾道次坯料很短，整個(gè)過(guò)程都處于變速階段，克服慣性矩需要的力矩計(jì)算公式如下：

                （20）

其中：Ｇ表示軋輥重量；Ｄ表示軋輥的有效直徑；ａ表示加速度，實(shí)測(cè)得咬入階段的加速為，甩出階段加速度為。

確定軋制力矩通常采用的方法有按金屬在軋輥上的軋制力作用來(lái)計(jì)算軋制力矩，或者計(jì)算軋輥上的切向摩擦力來(lái)計(jì)算軋制力矩，也可按積累的實(shí)際能耗數(shù)據(jù)來(lái)估算。在本次試驗(yàn)中采用第二種方法，即：

                   （21）

其中：為力臂系數(shù)，對(duì)熱軋制工藝通常取0.42~0.5。

盡管試驗(yàn)中采取用電機(jī)發(fā)熱來(lái)校核設(shè)備是否過(guò)載，但依然要對(duì)力矩是否超過(guò)額定力矩進(jìn)行校核，就需要計(jì)算等效力矩（）：

                   （22）

其中：為道次軋制時(shí)的力矩；為每道次后空載力矩；為軋制時(shí)間；為空載時(shí)間。

電動(dòng)機(jī)升溫的條件是：等效力矩大于等于額定力矩，即，電動(dòng)機(jī)過(guò)載的條件是：軋制階段的最大力矩大于等于電機(jī)的安全力矩，即，其中ｋ取2.0~2.5。

電機(jī)功率模型采用以下公式計(jì)算：

                    （23）

其中：Ｐ為電機(jī)功率；ｗ為電機(jī)轉(zhuǎn)速；為電機(jī)到軋機(jī)的傳動(dòng)效率，取0.96。

2.6 電機(jī)模型

電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，但轉(zhuǎn)矩必須滿足，為此根據(jù)直流電機(jī)功率計(jì)算公式：

                 （24）

其中：Ｕ為電機(jī)電壓；Ｒ為電機(jī)內(nèi)阻；Ｉ為電機(jī)電樞電流；Ｔ為電機(jī)扭矩；ｗ為電機(jī)轉(zhuǎn)速。

由圖6可知，當(dāng)電機(jī)速度在基速以上時(shí)，電機(jī)恒功率運(yùn)行，此時(shí)電機(jī)電流隨轉(zhuǎn)速的增加而增加，電機(jī)提供的扭矩可以根據(jù)額定功率與轉(zhuǎn)速求出；當(dāng)電機(jī)在基速以下工作時(shí)，電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)矩非常大，但要滿足上文中提到的條件。電機(jī)在恒功率模式下運(yùn)行時(shí)，滿足以下公式：

                 （25）

其中：與只跟電機(jī)的內(nèi)部構(gòu)造有關(guān)，可從電機(jī)相關(guān)手冊(cè)上獲得。

2.7 前滑模型

在鋁合金熱軋過(guò)程中，常出現(xiàn)出口速度大于軋輥線速度的情況，特別在上卷過(guò)程中更明顯，實(shí)際軋制過(guò)程中，前滑值一般在2%~10%。影響前滑的因素主要有軋輥直徑、摩擦系數(shù)、軋件厚度、前張力和加工率。根據(jù)Sims公式可以推導(dǎo)出前滑公式：

     （26）

其中：為軋件出口厚度；為軋輥壓扁半徑；為加工率。

圖5  平直度與軋制力之間的關(guān)系                圖6  電機(jī)轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速關(guān)系

2.8 軋制時(shí)間模型

校核電機(jī)發(fā)熱、計(jì)算熱輻射時(shí)，時(shí)間是非常重要的參數(shù)，同時(shí)軋制時(shí)間的長(zhǎng)短也是衡量軋制規(guī)程是否合理的一個(gè)方面。時(shí)間模型可分為咬入階段、咬入加速階段、穩(wěn)定軋制階段、甩尾減速階段和甩出后階段。實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，咬入階段和甩出后階段時(shí)間很短，約2~5秒，在計(jì)算中可將其忽略，軋制時(shí)間如圖7所示。其中，為咬入前階段，為咬入加速階段，為穩(wěn)定軋制階段，為甩尾減速階段，為甩出后階段，為咬入速度，為甩尾速度，為穩(wěn)定軋制速度，為加速階段的加速度，廠商提供的是，為減速階段的加速度，廠商提供的是，單道次軋制總時(shí)間ｔ為：。每個(gè)階段的軋制時(shí)間計(jì)算公式如下：

         （27，28，29）

                   （30）

   （31，32）

其中：表示咬入加速階段的坯料長(zhǎng)度，表示甩尾階段的坯料長(zhǎng)度，表示出口厚度，ｇ為前滑值。

2.9 電機(jī)發(fā)熱校核模型

為發(fā)揮電機(jī)的潛能，人為地讓電機(jī)在極限工況下工作，所以電機(jī)是否過(guò)載是本試驗(yàn)中始終關(guān)注的內(nèi)容。目前在國(guó)內(nèi)校核電機(jī)主要比較實(shí)際功率與額定功率，若實(shí)際功率高于額定功率則認(rèn)為電機(jī)過(guò)載。但在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，實(shí)際功率往往不容易計(jì)算，本文借鑒國(guó)外學(xué)者校核電機(jī)過(guò)載的方法，提出采用電機(jī)發(fā)熱量來(lái)校核電機(jī)是否過(guò)載，這樣可有效地發(fā)揮電機(jī)潛能。

電機(jī)自身可容納的最大熱量為臨界值，其計(jì)算公式為：

        （33）

其中Ｒ為電機(jī)內(nèi)阻，為電機(jī)可承受的最大電流，為時(shí)間常數(shù)，直流電機(jī)一般取300~600秒。

實(shí)際軋制過(guò)程中電機(jī)的發(fā)熱量為：

很顯然電機(jī)不過(guò)載的條件為：

實(shí)際軋制過(guò)程中也包含電機(jī)散熱，考慮到極限情況，忽略軋制時(shí)的散熱，只考慮在間歇時(shí)間的散熱：

                   （34）

其中：為上一道次與下一道次之間的間歇時(shí)間。

2.10 咬入條件模型

整個(gè)軋制過(guò)程能否進(jìn)行首先要滿足咬入條件，因此必須建立咬入條件來(lái)作為約束軋制規(guī)程的制定。軋輥與坯料之間的摩擦力是咬入的動(dòng)力最重要的關(guān)系，其關(guān)系如圖8所示。只要咬入角α小于摩擦角β的時(shí)候才能咬入，也即滿足：

   

    其中：D為軋輥直徑，為絕對(duì)壓下量，由預(yù)定工藝確定。

   

圖7  軋制時(shí)間示意圖                 圖8  咬入角與摩擦角的關(guān)系

3 實(shí)驗(yàn)分析

  采用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)上述建立的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行優(yōu)化，最終制定出最優(yōu)的軋制規(guī)程。通過(guò)在現(xiàn)場(chǎng)試軋制，驗(yàn)證了優(yōu)化后的規(guī)程。該優(yōu)化規(guī)程在保證板形良好的情況下，同時(shí)能實(shí)現(xiàn)減少軋制道次，節(jié)省時(shí)間，減少功耗。表1是針對(duì)3003鋁合金原先規(guī)程與優(yōu)化后規(guī)程的對(duì)比。

表1  3003鋁合金軋制工藝對(duì)比

總道次	最大壓下量	最小壓下量	耗時(shí)	能耗
原先規(guī)程	15	30mm	7.2mm	609.9s	52.75Kwh
優(yōu)化后規(guī)程	13	30mm	0.8mm	422.3s	41.1Kwh

  通過(guò)對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，在其它工藝條件相同的情況下軋制同樣的坯料，優(yōu)化后的軋制規(guī)程可明顯地降低能耗，約22.1%，節(jié)省時(shí)間約187.6秒。

4 結(jié)論

針對(duì)某鋁合金中厚板生產(chǎn)廠商可逆二輥軋機(jī)，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量鋁合金熱軋相關(guān)工藝參數(shù)，通過(guò)反求并用數(shù)學(xué)回歸方法建立符合實(shí)際軋制過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。建立的數(shù)學(xué)模型和實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)能很好地吻合，在此基礎(chǔ)上提出一種確定軋制規(guī)程的方法。該方法提出用電機(jī)發(fā)熱量來(lái)判斷電機(jī)是否過(guò)載，在實(shí)際應(yīng)用中，用該方法計(jì)算出的軋制規(guī)程能很好地保證鋁合金產(chǎn)品板型，最大限度地挖掘軋機(jī)潛能，提高生產(chǎn)效率。

（1）針對(duì)具體的軋制生產(chǎn)線建立合適的數(shù)學(xué)模型是優(yōu)化其規(guī)程的前提條件。在建模中要充分利用各種數(shù)學(xué)工具和先進(jìn)的測(cè)試手段，才能更加準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)模型，為優(yōu)化提供條件。

（2）提出用電機(jī)發(fā)熱校核電機(jī)是否過(guò)載，能有效地發(fā)揮電機(jī)的潛能，提高能源利用率。